С какой силой давит на стенки цилиндрического стакана палочка массы \(m\), наполовину погружённая в воду? Угол наклона палочки к горизонтали \(\alpha\). Трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вертикаль. Стенки гладкие и вертикальные — их реакции горизонтальны. Значит вес палочки уравновешивает только архимедова сила:
\[ F_{\text{А}} = mg. \](Заодно отсюда видно, что плотность палочки вдвое меньше плотности воды — ведь погружена ровно половина.)
Где приложены силы. Пусть длина палочки \(2b\). Вес приложен к её середине. Архимедова сила приложена к середине погружённой половины, то есть на \(b/2\) ближе к нижнему концу.
Моменты относительно середины палочки. Вес момента не даёт. Архимедова сила вертикальна и приложена на расстоянии \(b/2\) вдоль палочки, её плечо по горизонтали
\[ \frac b2\cos\alpha, \]момент равен \(mg\,\dfrac b2\cos\alpha\).
Две реакции стенок равны по модулю \(P\) и противоположны — это пара сил. Точки касания это концы палочки, расстояние между ними по вертикали равно \(2b\sin\alpha\), поэтому момент пары равен \(P\cdot 2b\sin\alpha\).
Приравниваем.
\[ P\cdot 2b\sin\alpha = mg\,\frac b2\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad P = \frac{mg}{4}\operatorname{ctg}\alpha. \]