Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке (верхний конец стержня привязан нитью к потолку, нить перпендикулярна стержню)? Длина нити \(AB\) равна длине стержня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Треугольник, образованный вертикалью от \(A\) до пола, нитью \(AB\) и стержнем, прямоугольный (угол при \(B\)) и равнобедренный \((AB = BC = L)\). Значит стержень наклонён к вертикали на \(45^\circ\).
Моменты относительно нижнего конца \(C\). Пусть \(T\) — натяжение нити. Нить перпендикулярна стержню, поэтому её плечо относительно \(C\) равно всей длине \(L\); вес приложен к середине, его горизонтальное плечо \(\dfrac L2\sin45^\circ = \dfrac{L}{2\sqrt2}\):
\[ T\,L = mg\,\frac{L}{2\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{mg}{2\sqrt2}. \]Силы. Нить направлена под \(45^\circ\) вверх-влево, поэтому
\[ N = mg - T\cos45^\circ = mg - \frac{mg}{2\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2} = mg - \frac{mg}{4} = \frac{3mg}{4}, \] \[ F_{\text{тр}} = T\sin45^\circ = \frac{mg}{4}. \]Условие.
\[ F_{\text{тр}} \le \mu N \quad\Longrightarrow\quad \frac{mg}{4} \le \mu\,\frac{3mg}{4} \quad\Longrightarrow\quad \mu \ge \frac13. \]