Расстояние между вертикальными стенками равно \(l\). Какой длины стержень, вставленный наискось между стенками, не будет опускаться, если коэффициент трения между стержнем и стенками равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначения. Пусть стержень длины \(L\) наклонён к горизонтали на угол \(\theta\), тогда
\[ \cos\theta = \frac lL. \]Стенки давят на концы горизонтально с силами \(N\) (равными и противоположными), трение на концах вертикально: \(f_1\) снизу и \(f_2\) сверху.
Уравнения. По вертикали \(f_1 + f_2 = mg\). Моменты относительно нижнего конца (верхний отстоит от него на \(l\) по горизонтали и на \(L\sin\theta\) по вертикали):
\[ N\,L\sin\theta + f_2\,l - mg\,\frac l2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad f_2 = \frac{mg}{2} - \frac{N\,L\sin\theta}{l},\qquad f_1 = \frac{mg}{2} + \frac{N\,L\sin\theta}{l}. \]Условие. Нижний конец нагружен сильнее, для него требуется
\[ f_1 \le \mu N \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{mg}{2} \le N\left(\mu - \frac{L\sin\theta}{l}\right). \]Здесь \(L\sin\theta/l = \operatorname{tg}\theta\). Если \(\operatorname{tg}\theta < \mu\), то скобка положительна, и достаточно вставить стержень поплотнее (взять \(N\) побольше) — равновесие возможно. Если же \(\operatorname{tg}\theta \ge \mu\), никакое \(N\) не поможет.
Переводим на язык длины. \(\operatorname{tg}\theta = \sqrt{L^2-l^2}/l\), поэтому условие \(\operatorname{tg}\theta < \mu\) означает
\[ L^2 - l^2 < \mu^2l^2 \quad\Longrightarrow\quad L < l\sqrt{1+\mu^2}. \]И, конечно, \(L > l\) — иначе стержень не встанет наискось. Итого
\[ l < L < l\sqrt{1+\mu^2}. \]