На цилиндр намотана нить, один конец которой закреплён на стойке в верхней
точке наклонной плоскости (нить сходит с верхней точки цилиндра и параллельна
плоскости). При каком угле наклона плоскости цилиндр не будет скатываться с неё,
если коэффициент трения цилиндра о плоскость равен \(\mu\)?
К задаче 2.8.29 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нить приложена к верхней точке цилиндра, трение — к нижней. Оба плеча равны
\(R\), поэтому из равенства моментов сразу следует, что натяжение равно силе
трения. А вместе они держат составляющую тяжести — значит каждая равна её
половине.
Моменты относительно оси цилиндра. Натяжение \(T\) приложено к верхней
точке (плечо \(R\)), сила трения \(f\) — к нижней (плечо тоже \(R\)), и они
закручивают цилиндр в противоположные стороны:
\[ T\,R = f\,R \quad\Longrightarrow\quad T = f. \]
Вдоль наклонной плоскости. Обе силы направлены вверх по склону:
\[ T + f = mg\sin\alpha
\quad\Longrightarrow\quad
f = \frac{mg\sin\alpha}{2}. \]
Условие. Нормальная реакция \(N = mg\cos\alpha\) (нить параллельна
плоскости и на неё не влияет), поэтому
Проверка. Без нити цилиндр удержался бы лишь при
\(\operatorname{tg}\alpha\le\mu\) — нить ровно вдвое расширяет диапазон ✓, и
понятно почему: она берёт на себя половину скатывающей силы, оставляя трению
только вторую половину. Сравните с задачей 2.7.14, где та же нить при
скольжении, наоборот, вдвое усиливала вредное действие трения ✓ — там
точка касания ехала вдвое быстрее оси, здесь же всё неподвижно. Форма цилиндра
(сплошной или полый) не важна ✓ — в статике момент инерции не при чём.