Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.8. Статика

Савченко, задача 2.8.30

Условие

Глубина лунки в доске, в которую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски с горизонталью шарик выскочит из лунки?

К задаче 2.8.30 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Шар выкатывается, перевалившись через нижний край лунки. Значит нужно сравнить моменты силы тяжести относительно этой точки: пока «вертикаль через центр» падает внутрь лунки, шар держится.

Геометрия. Глубина лунки \(R/2\), значит центр шара поднят над поверхностью доски на

\[ y = R - \frac R2 = \frac R2, \]

а радиус края лунки находится из прямоугольного треугольника:

\[ r = \sqrt{R^2 - y^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}} = \frac{R\sqrt3}{2}. \]

Момент относительно нижнего края. Введём оси, связанные с доской: \(x\) — вниз по склону, \(y\) — перпендикулярно доске. Нижняя точка края \(P\) отстоит от центра шара на \((r,\ -y)\), а сила тяжести в этих осях имеет составляющие \(mg(\sin\alpha,\ -\cos\alpha)\).

Шар удерживается, пока момент тяжести относительно \(P\) заворачивает его обратно в лунку:

\[ mg\,r\cos\alpha \ge mg\,y\sin\alpha \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha \le \frac ry = \frac{R\sqrt3/2}{R/2} = \sqrt3. \]

Ответ. Шарик выскочит при

\[ \operatorname{tg}\alpha > \sqrt3,\qquad \alpha > 60^\circ = \frac{\pi}{3}. \]

Проверка. Условие \(\operatorname{tg}\alpha = r/y\) имеет прозрачный смысл: вертикаль, проведённая через центр шара, выходит ровно через край лунки ✓ — дальше центр «свешивается» наружу. Радиус шара сократился ✓ — важна только относительная глубина. Проверим предельные случаи: если лунка неглубокая \((y\to R)\), то \(r\to0\) и \(\alpha\to0\) ✓ — шар скатится с малейшего наклона; если лунка глубиной в радиус \((y=0)\), шар не выскочит никогда ✓.

Ответ \( \alpha > 60^\circ \).

Следующая задача 2.8.31 →