На парту с углом наклона \(\alpha > 30^\circ\) кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разложим скатывающую силу. Вдоль поверхности парты действует \(mg\sin\alpha\), направленная вниз по склону. Пусть \(\varphi\) — угол между карандашом и горизонтальным краем парты. Тогда составляющая поперёк карандаша (она и переворачивает его) равна
\[ F_\perp = mg\sin\alpha\,\cos\varphi, \]а вдоль оси карандаша действует \(mg\sin\alpha\sin\varphi\) — она его только сдвигает, но не катит.
Условие «не перевалится». Шестигранник лежит на грани; в сечении центр отстоит от грани на апофему \(a\sqrt3/2\), а от нижнего ребра по горизонтали на \(a/2\) (здесь \(a\) — сторона шестиугольника). Считаем моменты относительно нижнего ребра: опрокидывает карандаш поперечная сила \(F_\perp\) с плечом \(a\sqrt3/2\), удерживает — прижимающая составляющая веса \(mg\cos\alpha\) с плечом \(a/2\), а реакция опоры в момент отрыва приложена к самому ребру и момента не даёт:
\[ F_\perp\cdot\frac{a\sqrt3}{2} \le mg\cos\alpha\cdot\frac a2, \] \[ \sqrt3\,mg\sin\alpha\cos\varphi \le mg\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi \le \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. \]Наименьший угол \(\varphi\) отвечает наибольшему \(\cos\varphi\):
\[ \cos\varphi_{\min} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. \]При этом, разумеется, нужно ещё, чтобы карандаш не соскользнул: \(\mu > \operatorname{tg}\alpha\).