Однородный куб с помощью верёвки, привязанной в середине его верхнего ребра (дальнего от стены), подвешен к вертикальной стене; второй конец верёвки закреплён на стене выше куба. При каких значениях угла \(\alpha\) между верёвкой и стенкой куб соприкасается со стенкой всей гранью, если коэффициент трения его о стену равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Где пересекаются вес и натяжение. Пусть ребро куба \(a\); начало координат — в нижней точке прижатой грани, ось \(x\) от стены, ось \(y\) вверх. Вес идёт по вертикали \(x = a/2\). Верёвка проходит через точку \((a,\ a)\) под углом \(\alpha\) к стене, то есть к вертикали. Смещаясь от этой точки к стене на \(a/2\), поднимаемся на \((a/2)\operatorname{ctg}\alpha\), поэтому
\[ P = \left(\frac a2,\ \ a + \frac a2\operatorname{ctg}\alpha\right) \]— точка пересечения лежит на \((a/2)\operatorname{ctg}\alpha\) выше верхней грани.
Реакция стены. Она приложена где-то на грани соприкосновения, то есть в точке \((0,\ y)\) с \(0 \le y \le a\), и её линия обязана пройти через \(P\). Наклон этой линии к горизонтали:
\[ \operatorname{tg}\theta = \frac{a + \frac a2\operatorname{ctg}\alpha - y}{a/2} = 2 + \operatorname{ctg}\alpha - \frac{2y}{a}. \]Самая «пологая» реакция получается при \(y = a\), когда давление сосредоточено у верхнего ребра грани:
\[ \operatorname{tg}\theta_{\min} = \operatorname{ctg}\alpha. \]Конус трения. Полная реакция шероховатой поверхности не может отклониться от нормали больше, чем на угол трения: \(\operatorname{tg}\theta \le \mu\). Значит
\[ \operatorname{ctg}\alpha \le \mu \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha \ge \frac1\mu . \]Что при этом с силами. На самой границе (давление у верхнего ребра) моменты относительно этого ребра дают \(T a\cos\alpha = mg\,a/2\), откуда
\[ T = \frac{mg}{2\cos\alpha},\qquad N = T\sin\alpha = \frac{mg}{2}\operatorname{tg}\alpha,\qquad F_{\text{тр}} = mg - T\cos\alpha = \frac{mg}2 . \]Половину веса держит верёвка, половину — трение о стену; и чем ближе верёвка к горизонтали, тем сильнее она прижимает куб и тем легче трению справиться.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(\operatorname{tg}\alpha \le 1/\mu\). Граничное значение указано верно, но неравенство перевёрнуто: куб держится плашмя при больших углах (верёвка ближе к горизонтали и сильнее прижимает его к стене), а не при малых. Проверка с \(\mu = 0\) не оставляет сомнений: печатный ответ разрешил бы любой угол на идеально гладкой стене.