На горизонтальной поверхности стоит куб массы \(m\). С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Момент. Пусть ребро куба \(a\), сила \(F\) приложена к верхнему ребру. Куб переваливается через нижнее ребро \(O\), которое лежит прямо под точкой приложения. Поэтому вертикальная составляющая силы проходит через \(O\) и момента не даёт, а горизонтальная имеет плечо \(a\):
\[ F\cos\alpha\cdot a \ \ge\ mg\cdot\frac a2 \quad\Longrightarrow\quad F\cos\alpha \ge \frac{mg}2 . \]Нет проскальзывания. Нормальная реакция уменьшается, если тянуть вверх:
\[ N = mg - F\sin\alpha,\qquad F\cos\alpha \le \mu N = \mu\,(mg - F\sin\alpha). \]Ищем минимум. Момент выгодно брать впритык: \(F\cos\alpha = mg/2\) — больше и не нужно, а лишняя горизонтальная составляющая только приближает срыв. Подставим:
\[ \frac{mg}2 \le \mu\,mg - \mu F\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad F\sin\alpha \le mg\,\frac{2\mu-1}{2\mu}. \]Случай \(\mu \ge 1/2\). Правая часть неотрицательна, годится \(\alpha = 0\): тянем горизонтально и
\[ F = \frac{mg}2 . \]Случай \(\mu < 1/2\). Правая часть отрицательна, значит \(\sin\alpha < 0\) — силу надо направлять вниз. Обозначим \(\beta = -\alpha > 0\) (угол ниже горизонта). Тогда \(F = mg/(2\cos\beta)\) и
\[ \frac{mg}2\operatorname{tg}\beta \ \ge\ mg\,\frac{1-2\mu}{2\mu} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tg}\beta \ \ge\ \frac{1-2\mu}{\mu}. \]Сила \(F = mg/(2\cos\beta)\) растёт вместе с \(\beta\), поэтому минимум — на самой границе. Из \(\operatorname{tg}\beta = (1-2\mu)/\mu\) находим
\[ \cos\beta = \frac{\mu}{\sqrt{\mu^2 + (1-2\mu)^2}} = \frac{\mu}{\sqrt{5\mu^2-4\mu+1}}, \qquad F = \frac{mg}{2\mu}\sqrt{5\mu^2-4\mu+1}. \]