Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.8. Статика

Савченко, задача 2.8.34

Задача 2.8.34лестница у стены

Условие

Лестница опирается на вертикальную стену и пол. При каких значениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты трения лестницы о пол и о стену равны \(\mu_1\) и \(\mu_2\) соответственно?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Лестница срывается так: низ уезжает от стены, верх съезжает вниз. Значит на границе оба трения работают на полную: снизу — к стене, сверху — вверх. Дальше три уравнения равновесия (две проекции и моменты) дают угол.

Внизу трение о пол направлено к стене, вверху трение о стену — вверх: именно так они мешают лестнице соскользнуть.

Проекции. Обозначим \(N_1,\ F_1\) — нормаль и трение пола, \(N_2,\ F_2\) — стены. Горизонталь и вертикаль дают

\[ F_1 = N_2, \qquad N_1 + F_2 = mg. \]

Моменты относительно нижнего конца. Пусть длина лестницы \(L\). Вес приложен в середине, его плечо \(\frac L2\cos\alpha\); у \(N_2\) плечо \(L\sin\alpha\), у \(F_2\) — \(L\cos\alpha\):

\[ N_2 L\sin\alpha + F_2 L\cos\alpha = mg\,\frac L2\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad N_2\operatorname{tg}\alpha = \frac{mg}2 - F_2 . \]

Предельный случай. Наименьший угол отвечает полному использованию трения: \(F_1 = \mu_1 N_1,\ F_2 = \mu_2 N_2\). Тогда

\[ N_2 = F_1 = \mu_1 N_1 = \mu_1(mg - \mu_2 N_2) \quad\Longrightarrow\quad N_2 = \frac{\mu_1 mg}{1+\mu_1\mu_2},\qquad F_2 = \frac{\mu_1\mu_2\,mg}{1+\mu_1\mu_2}. \]

Подставляем в уравнение моментов:

\[ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\frac{mg}2 - F_2}{N_2} = \frac{\frac{1+\mu_1\mu_2}{2} - \mu_1\mu_2}{\mu_1} = \frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1}. \]

При больших углах трения хватает с запасом, поэтому

\[ \operatorname{tg}\alpha \ \ge\ \frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1}. \]

Проверка. Гладкая стена \((\mu_2 = 0)\) даёт классическое \(\operatorname{tg}\alpha \ge 1/(2\mu_1)\) ✓. При \(\mu_1\to0\) требуется \(\alpha\to90^\circ\) ✓ — на льду лестницу можно только приставить вертикально. Если \(\mu_1\mu_2 \ge 1\), правая часть неположительна и лестница стоит при любом угле ✓ — на очень цепких поверхностях её можно почти положить. Масса и длина сократились ✓. Обратите внимание: трение о стену помогает вдвойне — оно и вес частично держит, и уменьшает нужный угол ✓.

Ответ \( \operatorname{tg}\alpha \ge \dfrac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1} \).

Следующая задача 2.8.35 →