Центр масс холодильника находится на высоте \(h\) от пола посередине между опорами, расстояние между которыми равно \(l\). Задние опоры — колёсики с пренебрежимо малым трением в осях, передние опоры — неподвижные выступы, коэффициент трения которых о пол равен \(\mu\). Если к холодильнику на уровне его центра масс приложена горизонтальная сила \(F\), то холодильник начинает сдвигаться назад, в сторону колёсиков. Какую горизонтальную силу нужно приложить на том же уровне в противоположном направлении, чтобы сдвинуть холодильник вперёд?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Движение назад. Пусть \(N_{\text{п}}\) и \(N_{\text{з}}\) — нагрузки на передние выступы и на колёсики. Трение только на выступах, оно направлено против движения — вперёд. Горизонталь и вертикаль:
\[ F = \mu N_{\text{п}},\qquad N_{\text{п}} + N_{\text{з}} = mg. \]Моменты относительно центра масс. Опоры дают \(N_{\text{п}}\frac l2\) и \(N_{\text{з}}\frac l2\) в разные стороны, а трение приложено на \(h\) ниже центра масс и «кивает» холодильник назад:
\[ N_{\text{п}}\frac l2 + \mu N_{\text{п}} h = N_{\text{з}}\frac l2 \quad\Longrightarrow\quad N_{\text{з}} = N_{\text{п}}\left(1+\frac{2\mu h}{l}\right). \]Вместе с \(N_{\text{п}} + N_{\text{з}} = mg\) это даёт
\[ N_{\text{п}} = \frac{mg\,l}{2(l+\mu h)},\qquad F = \frac{\mu\,mg\,l}{2(l+\mu h)} . \]Движение вперёд. Теперь трение направлено назад и кивает холодильник вперёд — знак у \(\mu h\) меняется:
\[ N'_{\text{з}} = N'_{\text{п}}\left(1-\frac{2\mu h}{l}\right),\qquad N'_{\text{п}} = \frac{mg\,l}{2(l-\mu h)},\qquad F' = \frac{\mu\,mg\,l}{2(l-\mu h)} . \]Отношение. Масса и все константы сокращаются:
\[ \frac{F'}{F} = \frac{l+\mu h}{l-\mu h} \quad\Longrightarrow\quad F' = F\,\frac{l+\mu h}{l-\mu h}. \]