На вращающуюся горизонтальную ось радиуса \(R\) надета с малым зазором лёгкая втулка с прикреплённым к ней радиально лёгким стержнем длины \(l\). На конце стержня закреплён тяжёлый груз. Определите угол отклонения стержня от вертикали при вращении оси, если коэффициент трения между втулкой и осью равен \(\mu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Реакция вертикальна. Стержень и втулка невесомы, поэтому вся система «втулка + стержень + груз» держится только весом \(mg\) и реакцией оси. Значит реакция направлена вертикально вверх и равна \(mg\).
Куда уехала точка касания. Полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали на угол трения \(\varphi\), причём
\[ \operatorname{tg}\varphi = \mu . \]Нормаль в точке касания — это радиус \(OQ\). Раз реакция вертикальна, а от радиуса она отклонена на \(\varphi\), то и сам радиус \(OQ\) отклонён от вертикали на \(\varphi\) — в сторону вращения. Горизонтальное смещение точки касания от оси:
\[ d = R\sin\varphi = \frac{\mu R}{\sqrt{1+\mu^2}} \](здесь \(\sin\varphi = \operatorname{tg}\varphi/\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\varphi}\)).
Груз под точкой касания. Груз находится на расстоянии \(R + l\) от оси, его горизонтальное смещение равно \((R+l)\sin\alpha\). Приравниваем:
\[ (R+l)\sin\alpha = \frac{\mu R}{\sqrt{1+\mu^2}} \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{\mu R}{(l+R)\sqrt{1+\mu^2}} . \]