Колесо радиуса \(R\) может свободно вращаться вокруг своей оси. К боковой поверхности колеса прижимаются приводные ремни, движущиеся со скоростью \(v\); прямая ремня проходит на расстоянии \(h\) от оси вращения. Определите установившуюся угловую скорость колеса, если соприкосновение его с ремнём происходит только по ободу.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему скольжение радиально. Сила трения направлена вдоль относительного скольжения и приложена в точке обода, то есть на расстоянии \(R\) от оси. Её момент относительно оси создаёт только касательная составляющая. Значит равновесие моментов означает: скольжение чисто радиальное, а касательные скорости ремня и обода равны.
Геометрия. Пусть \(\psi\) — угол между радиусом \(OP\), проведённым в точку касания, и направлением ремня. Расстояние от центра до прямой ремня равно
\[ h = R\sin\psi . \]Касательное направление перпендикулярно \(OP\), поэтому угол между ним и ремнём равен \(90^\circ - \psi\), и проекция скорости ремня на касательную
\[ v_\tau = v\cos(90^\circ-\psi) = v\sin\psi = \frac{vh}{R}. \]Условие установившегося режима. Скорость обода \(\omega R\) равна этой проекции:
\[ \omega R = \frac{vh}{R} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{vh}{R^2}. \]