Однородная балка длины \(l\) висит на четырёх одинаковых канатах, прикреплённых на расстоянии \(l/3\) друг от друга (канаты \(A,\ B,\ C,\ D\) слева направо). Канат \(A\) удаляют. Для уменьшения опасности разрыва канатов предлагают удалить ещё и канат \(D\). Разумно ли это предложение?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Почему натяжения линейны. Канаты одинаковы, значит натяжение каждого пропорционально его удлинению: \(T = k\Delta\). Балка жёсткая — после нагружения она остаётся прямой, поэтому опускание её точек, а с ним и удлинения канатов, линейно зависят от координаты. Итак
\[ T(x) = a + bx . \]Все четыре каната. Обозначим шаг \(s = l/3\); канаты стоят в точках \(0,\ s,\ 2s,\ 3s\), центр масс — в точке \(1{,}5s\). Два уравнения равновесия:
\[ \sum T_i = mg,\qquad \sum T_i x_i = mg\cdot 1{,}5 s . \]Подставив \(T_i = a + bx_i\), получаем \(b = 0,\ a = mg/4\): все канаты нагружены поровну, \(T = mg/4\) — как и должно быть по симметрии.
Убрали \(A\). Остались канаты в точках \(s,\ 2s,\ 3s\):
\[ 3a + 6bs = mg,\qquad 6as + 14bs^2 = 1{,}5\,s\,mg \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5mg}{6},\qquad b = -\frac{mg}{4s}. \] \[ T_B = \frac{7mg}{12},\qquad T_C = \frac{4mg}{12},\qquad T_D = \frac{mg}{12}. \]Сумма равна \(mg\) ✓. Самый нагруженный канат — \(B\): на него приходится \(7mg/12 \approx 0{,}58\,mg\).
Убрали ещё и \(D\). Остались \(B\) и \(C\) — в точках \(s\) и \(2s\), то есть симметрично относительно центра масс \(1{,}5s\). Значит поровну:
\[ T_B = T_C = \frac{mg}{2} = \frac{6mg}{12} \ <\ \frac{7mg}{12}. \]Наибольшее натяжение уменьшилось — предложение разумно.