Однородная балка длины \(l\) и массы \(m\) на расстоянии \(l/3\) от конца имеет ось вращения. К концу балки присоединена пружина, прикреплённая к полу, и такая же пружина присоединена симметрично по другую сторону оси. При горизонтальном положении балки обе пружины не деформированы. Найдите силы, с которыми балка действует на ось и на пружины. Деформации пружин малы, поэтому балка почти горизонтальна.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Ось стоит на \(l/3\) от левого конца, центр масс — в середине, то есть на
\[ \frac l2 - \frac l3 = \frac l6 \]правее оси. Левая пружина закреплена на самом конце балки, то есть на \(l/3\) левее оси; правая — симметрично, на \(l/3\) правее.
Поворот. Пусть балка повернулась на малый угол \(\theta\). Левый конец поднялся на \((l/3)\theta\), а точка крепления правой пружины опустилась на столько же. Значит левая пружина растянута на \(x = (l/3)\theta\) и тянет балку вниз, правая сжата на столько же и толкает балку вверх. Модули сил одинаковы: \(F = kx\).
Моменты относительно оси. Обе пружины заворачивают балку в одну сторону — против веса, и плечи у них одинаковые:
\[ mg\cdot\frac l6 = F\cdot\frac l3 + F\cdot\frac l3 = \frac{2Fl}{3} \quad\Longrightarrow\quad F = \frac{mg}{4}. \]Сила на ось. Проекция на вертикаль: реакция оси \(N\) вверх, вес \(mg\) вниз, сжатая пружина толкает вверх с \(F\), растянутая тянет вниз с \(F\):
\[ N + F - F - mg = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = mg . \]Пружинные силы взаимно уничтожаются, и ось несёт ровно вес балки.
По третьему закону Ньютона балка давит на ось с силой \(mg\), а на пружины — с силами \(mg/4\): левую растягивает, правую сжимает.