Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с одного конца
общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы. Найдите
углы между нитями. Трением пренебречь.
К задаче 2.8.4 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Отверстия гладкие, значит натяжение вдоль каждой нити одинаково и равно весу
груза. На узел действуют три равные по модулю силы, лежащие в плоскости стола,
и их сумма должна быть нулевой.
Каждая нить тянет узел с силой \(T = mg\) — одинаковой для всех трёх. Три
равных вектора дают нуль только тогда, когда они образуют равносторонний
треугольник, то есть когда соседние направления составляют
\[ 120^\circ. \]
Проверка. Проверим сложением: если нити направлены под
\(0^\circ, 120^\circ, 240^\circ\), сумма проекций на любую ось равна
\(T(1 + \cos120^\circ + \cos240^\circ) = T(1 - 0{,}5 - 0{,}5) = 0\) ✓. Заметим,
что положение узла при этом определено не однозначно — он может быть где угодно,
лишь бы углы были по \(120^\circ\); это точка Ферма (Торричелли) треугольника
отверстий ✓, и она же минимизирует суммарную длину нитей над столом — что и
отвечает минимуму потенциальной энергии грузов.