Два груза небольшого размера соединены нитью длины \(l\) и лежат на
цилиндрической гладкой поверхности радиуса \(R\). При равновесии грузов угол
между вертикалью и радиусом, проведённым к грузу массы \(m_1\), равен \(\alpha\).
Найдите массу второго груза.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Поверхность гладкая, поэтому у каждого груза вдоль поверхности действуют только
две силы: касательная составляющая тяжести и натяжение нити. Нить одна и та же,
значит эти касательные составляющие равны.
Нить лежит на цилиндре, её длина задаёт угловое расстояние
\(l/R\).
Геометрия. Нить лежит по поверхности, её длина \(l\) отвечает
центральному углу \(l/R\). Значит радиус ко второму грузу отклонён от вертикали
на угол
\[ \beta = \frac{l}{R} - \alpha. \]
Равновесие вдоль поверхности. Для первого груза касательная
составляющая тяжести \(m_1g\sin\alpha\) уравновешивается натяжением; для
второго — \(m_2g\sin\beta\). Нить одна, натяжение вдоль гладкой поверхности не
меняется:
Проверка. Если грузы расположены симметрично
\((\alpha = l/(2R))\), то \(\beta = \alpha\) и \(m_2 = m_1\) ✓. Если первый груз
почти на вершине \((\alpha\to0)\), то \(m_2\to0\) ✓ — лёгкий груз не может
удержать тяжёлый. Формула требует \(l/R > \alpha\) ✓, иначе второй груз оказался
бы по ту же сторону. И заметьте: радиус \(R\) входит только через комбинацию
\(l/R\) ✓ — важна лишь угловая длина нити.
Ответ
\( m_2 = m_1\dfrac{\sin\alpha}{\sin(l/R-\alpha)} \).