На крыше дома с углом наклона \(\varphi\) лежит свинцовый лист. Температура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения \(t_2\), а потом понижается до минимальной температуры \(t_1\), при которой длина листа равна \(l\). Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при остывании. На какое расстояние сползёт лист за \(N\) суток устойчивой погоды? Коэффициент трения листа о крышу \(\mu > \operatorname{tg}\varphi\). Температурный коэффициент линейного расширения свинца \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Нагревание. Пусть погонная масса листа \(\lambda = m/l\), а \(s_0\) — расстояние от нижнего края до неподвижной точки. Ниже неё лист ползёт вниз, значит трение там направлено вверх по склону; выше — наоборот. Сумма сил вдоль склона равна нулю:
\[ \mu\lambda g\cos\varphi\cdot s_0 - \mu\lambda g\cos\varphi\,(l-s_0) - \lambda g l\sin\varphi = 0, \] \[ \mu(2s_0 - l) = l\operatorname{tg}\varphi \quad\Longrightarrow\quad s_0 = \frac l2\left(1 + \frac{\operatorname{tg}\varphi}{\mu}\right). \]Точка лежит выше середины.
Остывание. Теперь части ползут к неподвижной точке, знаки трения меняются на противоположные, и точно так же
\[ s_1 = \frac l2\left(1 - \frac{\operatorname{tg}\varphi}{\mu}\right) \]— точка лежит ниже середины ровно на столько же.
Сдвиг за сутки. При нагревании на \(\Delta t = t_2 - t_1\) каждый отрезок удлиняется в \((1+\alpha\Delta t)\) раз. Кусок ниже неподвижной точки имеет длину \(s_0\), поэтому нижний край уезжает вниз на \(s_0\alpha\Delta t\). При остывании неподвижной становится точка \(s_1\), и нижний край возвращается вверх лишь на \(s_1\alpha\Delta t\). Итог за сутки:
\[ \Delta = (s_0 - s_1)\,\alpha\Delta t = l\,\alpha\Delta t\,\frac{\operatorname{tg}\varphi}{\mu}. \]Тот же сдвиг получается для любой точки листа — за сутки лист просто переносится вниз как целое. За \(N\) суток
\[ \Delta S = \frac{N l}{\mu}\,\alpha\,(t_2-t_1)\operatorname{tg}\varphi . \]