Савченко · Глава 2. Динамика · § 2.8. Статика

Савченко, задача 2.8.43

Задача 2.8.43муравей и соломинка
Условие

Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следует поступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньше максимальной силы трения покоя?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Тащить соломинку поступательно — значит преодолевать сразу всё трение, \(\mu mg\). А вот повернуть её вокруг точки внутри неё гораздо легче: части соломинки едут в разные стороны, их силы трения смотрят в разные стороны и частично гасят друг друга.

Что делать муравью. Тянуть не вдоль соломинки, а поперёк, взявшись за её конец. Тогда соломинка начнёт поворачиваться вокруг точки, лежащей примерно на \(0{,}29\) её длины от дальнего конца, и для этого хватит силы

\[ F = \mu m g(\sqrt2 - 1) \approx 0{,}41\,\mu mg \]

(точный расчёт — в следующей задаче 2.8.44). Это заметно меньше той силы, которую муравей уже развивает.

Почему так получается. При повороте одна часть соломинки движется в одну сторону, другая — в противоположную. Их силы трения тоже противоположны, и в сумму сил входят с разными знаками; поэтому «поперечное» усилие оказывается меньше полного трения более чем вдвое.

Как двигаться дальше. Повернув соломинку вокруг одного конца, муравей переходит к другому и поворачивает её в обратную сторону. Каждая пара таких поворотов переносит соломинку на заметное расстояние — так же «переступают» углами тяжёлый шкаф. Направление переступания муравей выбирает в сторону муравейника.

Проверка. Способ знаком каждому, кто двигал шкаф или холодильник: тащить волоком тяжело, а поворачивать вокруг то одного, то другого угла — легко ✓. Выигрыш конечен: сила уменьшается в \(1/(\sqrt2-1)\approx2{,}4\) раза ✓, поэтому оговорка «сила несколько меньше максимального трения покоя» как раз попадает в нужный диапазон ✓. Заметим, что выигрыш в силе оплачивается путём: за один поворот соломинка смещается меньше, чем если бы её тащили волоком ✓.
Ответ Тянуть за конец перпендикулярно соломинке, поворачивая её вокруг точки внутри: на это нужно лишь \( \mu mg(\sqrt2-1)\approx0{,}41\,\mu mg \). Переступая от одного конца к другому, муравей донесёт соломинку до муравейника.
Следующая задача 2.8.44 →