Однородный тонкий брусок массы \(m\) лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сумма сил. Пусть длина бруска \(L\), погонная масса \(\lambda = m/L\), сила приложена к правому концу, а точка поворота \(C\) отстоит от левого конца на \(c\). Слева от \(C\) трение направлено по силе, справа — против неё:
\[ F = \mu\lambda g\big[(L-c) - c\big] = \mu mg\left(1 - \frac{2c}{L}\right). \]Сумма моментов относительно \(C\). Левый кусок длины \(c\) даёт силу трения \(\mu\lambda g c\), приложенную в его середине, то есть на плече \(c/2\); правый кусок длины \(L-c\) — силу \(\mu\lambda g(L-c)\) на плече \((L-c)/2\). Оба момента заворачивают брусок в одну сторону, а сила \(F\) — в другую:
\[ F\,(L-c) = \mu\lambda g\,\frac{c^2 + (L-c)^2}{2}. \]Решаем. Введём \(u = c/L\) и поделим обе части на \(\mu m g L\):
\[ (1-2u)(1-u) = \frac{u^2 + (1-u)^2}{2}, \] \[ 2 - 6u + 4u^2 = 2u^2 - 2u + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2u^2 - 4u + 1 = 0 . \] \[ u = 1 - \frac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}293 \](второй корень \(1+\sqrt2/2 > 1\) не годится — точка вышла бы за брусок). Тогда
\[ F = \mu mg\,(1-2u) = \mu mg\,(\sqrt2 - 1) \approx 0{,}41\,\mu mg . \]