Посередине натянутой струны длины \(2l\) закреплён шар массы \(m\). Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия \(x \ll l\), а сила натяжения струны \(F\) не зависит от смещения? Почему при малых смещениях зависимость силы от \(x\) можно считать линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите потенциальную энергию шара. Какова скорость шара при прохождении положения равновесия, если максимальное смещение равно \(x_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила. Каждая половинка струны наклонена к прямой на угол \(\theta\), причём при \(x\ll l\)
\[ \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} \approx \frac xl . \]Поперечная составляющая натяжения каждой половинки равна \(F\sin\theta\approx Fx/l\), а половинок две:
\[ f = -\frac{2F}{l}\,x . \]Знак минус означает, что сила направлена против смещения — к положению равновесия.
Почему линейно. Натяжение по условию не меняется, а весь нелинейный эффект сидит в \(\sqrt{l^2+x^2}\). Разложение
\[ \frac{x}{\sqrt{l^2+x^2}} = \frac xl\left(1 - \frac{x^2}{2l^2}+\dots\right) \]показывает, что первая поправка мала как \((x/l)^2\): при \(x/l = 0{,}1\) это уже полпроцента. Так устроено любое малое отклонение от равновесия — первый член разложения линеен, и именно поэтому колебания получаются гармоническими.
Потенциальная энергия. Сила линейна, значит энергия квадратична: как и для пружины жёсткости \(k = 2F/l\),
\[ U = \frac{k x^2}{2} = \frac{F x^2}{l}. \](Это можно получить и «геометрически»: каждая половинка удлинилась на \(\sqrt{l^2+x^2}-l \approx x^2/(2l)\), работа против натяжения равна \(2F\cdot x^2/(2l) = Fx^2/l\) ✓.)
Скорость в положении равновесия. Вся энергия переходит в кинетическую:
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{F x_0^2}{l} \quad\Longrightarrow\quad v = x_0\sqrt{\frac{2F}{ml}} . \]