Задача 3.1.2груз на пружине
Условие
Груз массы \(m\) подвешен на пружине жёсткости \(k\). Как зависит суммарная сила, действующая на груз, от смещения его на \(x\) из положения равновесия? Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения \(x\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила тяжести постоянна, поэтому она лишь сдвигает положение равновесия, но не меняет
вида зависимости суммарной силы от смещения. Если отсчитывать \(x\) от нового
положения равновесия, тяжесть исчезает из формул совсем.
Положение равновесия. Пусть в равновесии пружина растянута на \(\Delta = mg/k\). Отсчитаем \(x\) вниз от этого положения. Тогда растяжение равно \(\Delta + x\), и суммарная сила
\[ f = mg - k(\Delta + x) = mg - mg - kx = -kx . \]Тяжесть выпала: суммарная сила такая же, как у пружины без всякого тяготения.
Потенциальная энергия. Сложим энергию пружины и энергию тяжести:
\[ U = \frac{k(\Delta+x)^2}{2} - mg(\Delta + x) = \frac{k\Delta^2}{2} + k\Delta x + \frac{kx^2}{2} - mg\Delta - mgx . \]Слагаемые с первой степенью \(x\) взаимно уничтожаются \((k\Delta = mg)\), а постоянные можно отбросить — начало отсчёта энергии произвольно:
\[ U = \frac{kx^2}{2}. \]Проверка. Ответ не содержит ни \(g\), ни \(m\) ✓ — вертикальные
колебания груза на пружине идут точно так же, как горизонтальные на гладком столе. Это
и есть общее правило: постоянная сила смещает положение равновесия, но не влияет ни на
частоту, ни на форму колебаний ✓. Проверим согласованность: сила \(-kx\) и энергия
\(kx^2/2\) отвечают друг другу — работа силы на пути от \(0\) до \(x\) равна
\(-kx^2/2\) ✓.
Ответ
\( f = -kx \), \( U = \dfrac{kx^2}{2} \) (\(x\) — смещение от положения равновесия).