а. Тело массы \(m\), подвешенное на пружине, совершает колебания так, что наибольшее значение скорости равно \(v_0\), а наибольшее отклонение от положения равновесия равно \(x_0\). Определите жёсткость пружины.
б. Скорость тела массы \(m\), подвешенного на пружине, зависит от координаты \(x\) по закону \(v = v_0\sqrt{1-(x/x_0)^2}\). Найдите зависимость силы, действующей на тело, и его потенциальной энергии от координаты \(x\). Зависит ли результат от природы силы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Энергия. В крайней точке вся энергия потенциальная, в положении равновесия — кинетическая:
\[ \frac{k x_0^2}{2} = \frac{m v_0^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{m v_0^2}{x_0^2}. \]б. Восстанавливаем энергию. Возведём закон \(v(x)\) в квадрат:
\[ v^2 = v_0^2\left(1 - \frac{x^2}{x_0^2}\right). \]Полная энергия постоянна и равна \(mv_0^2/2\), поэтому
\[ U(x) = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}\cdot\frac{x^2}{x_0^2} = \frac{k x^2}{2},\qquad k = m\left(\frac{v_0}{x_0}\right)^{\!2}. \]Квадратичной энергии отвечает линейная сила — та же, что у пружины жёсткости \(k\):
\[ f = -kx = -m\frac{v_0^2}{x_0^2}\,x . \]Зависит ли от природы силы. Нет. Мы нигде не пользовались тем, что это пружина: заданы движение и масса, а сила однозначно определяется вторым законом Ньютона. Точно так же двигалось бы тело в поле любой другой природы — электрической, магнитной, упругой, — лишь бы результирующая сила была равна \(-kx\).