Почему кажется, что быстро колеблющаяся на пружине лампочка вспыхивает в крайних точках своей траектории?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сколько времени лампочка проводит в разных местах. За время \(dt\) она проходит участок \(dx = v\,dt\), значит
\[ dt = \frac{dx}{v(x)} . \]Доля времени, приходящаяся на участок длины \(dx\), обратно пропорциональна скорости. Для гармонических колебаний
\[ v(x) = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2}, \]и у краёв \((x\to\pm x_0)\) скорость стремится к нулю, а «плотность времени» \(1/v\) — к бесконечности.
Что видит глаз. Яркость размазанной полоски пропорциональна этой плотности: в середине она минимальна, у концов резко возрастает. Поэтому и кажется, что лампочка вспыхивает в крайних точках — на самом деле светит она равномерно, просто у краёв она задерживается дольше всего.
Насколько сильно. Сравним доли времени, проведённые в средней половине размаха и в двух крайних четвертях. Время от \(-x_0/2\) до \(x_0/2\) отвечает изменению фазы от \(-30^\circ\) до \(30^\circ\), то есть трети полупериода; на две крайние четверти приходятся остальные две трети. То есть у краёв лампочка проводит вдвое больше времени, хотя они занимают вдвое меньшую длину — яркость там вчетверо выше.