Длина нити математического маятника \(l\), масса шарика \(m\). Определите силу,
действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия на \(x\), если
\(x \ll l\). Как зависит от \(x\) потенциальная энергия шарика?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нить компенсирует только ту часть тяжести, что направлена вдоль неё. Остаётся
поперечная составляющая \(mg\sin\theta\), а при малых углах \(\sin\theta \approx x/l\)
— та же линейная зависимость, что и у пружины.
Синяя стрелка — поперечная составляющая тяжести; при малых отклонениях
она равна \(mgx/l\) и направлена к положению равновесия. Отклонение на рисунке
сильно преувеличено.
Сила. Разложим вес на составляющую вдоль нити (её гасит натяжение) и
поперечную. Поперечная равна \(mg\sin\theta\), а
\[ \sin\theta = \frac xl \quad (x \ll l), \]
поэтому
\[ f = -\frac{mg}{l}\,x . \]
Маятник — та же пружина с жёсткостью \(k = mg/l\).
\[ U = mgh = \frac{mg\,x^2}{2l} = \frac{kx^2}{2}\ ✓ \]
— как и положено при линейной силе.
Проверка. Жёсткость \(k = mg/l\) даёт частоту
\(\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{g/l}\) ✓ — знаменитая формула маятника, в которой масса
сократилась. Два независимых пути (через силу и через высоту подъёма) дали
согласованную пару \(f\) и \(U\) ✓. Чем длиннее нить, тем «мягче» маятник ✓.
Ответ
\( f = -\dfrac{mg}{l}x \), \( U = \dfrac{mg x^2}{2l} \).