Задача 3.1.6максимальная скорость маятника
Условие
Определите максимальную скорость шарика математического маятника длины \(l\), движущегося в одной плоскости, если амплитуда смещения при малых колебаниях равна \(x_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вся потенциальная энергия в крайней точке переходит в кинетическую в нижней. Энергию
мы уже нашли в предыдущей задаче.
Энергия. В крайней точке \(U = mg x_0^2/(2l)\), в нижней вся энергия кинетическая:
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{mg\,x_0^2}{2l} \quad\Longrightarrow\quad v = x_0\sqrt{\frac gl}. \]Проверка. Масса сократилась ✓ — как и всегда у маятника.
Результат — это в точности \(v = \omega x_0\) с \(\omega = \sqrt{g/l}\) ✓. Числа: при
\(l = 1\) м и \(x_0 = 5\) см получаем \(v \approx 0{,}16\) м/с ✓ — правдоподобно для
неспешно качающегося маятника. Заметим, что ответ через линейную амплитуду
\(x_0\), а не через угловую: для угловой амплитуды \(\theta_0\) вышло бы
\(v = \theta_0\sqrt{gl}\) ✓.
Ответ
\( v = x_0\sqrt{\dfrac gl} \).