Горизонтальный жёлоб слева от нижней линии выгнут по цилиндрической поверхности
радиуса \(r\), а справа — по поверхности радиуса \(R\). Определите отношение
наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях тела в этом жёлобе.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тело в жёлобе радиуса \(\rho\) ведёт себя как маятник длины \(\rho\): потенциальная
энергия равна \(mgx^2/(2\rho)\). Полная энергия одна и та же по обе стороны, значит
там, где жёлоб положе, тело заезжает дальше.
Слева жёлоб круче \((r < R)\), поэтому тело заезжает туда не так
далеко.
Энергия в жёлобе. Отклонившись на \(x\) по горизонтали, тело поднимается на
\(h \approx x^2/(2\rho)\) — точно как маятник длины \(\rho\) (см. задачу
3.1.5). Значит
\[ U = \frac{mg\,x^2}{2\rho}. \]
Приравниваем энергии. В обеих крайних точках скорость нулевая, а полная
энергия одна и та же:
Иначе говоря, вправо тело заезжает в \(\sqrt{R/r}\) раз дальше — именно в такой
форме ответ и записан в задачнике.
Проверка. При \(r = R\) отклонения равны ✓. Чем положе
правая половина \((R\) велико\()\), тем дальше туда заезжает тело ✓ — сила там слабее.
Масса сократилась ✓. Любопытно, что период такого «несимметричного» маятника равен
полусумме периодов двух маятников: \(T = \pi\sqrt{r/g} + \pi\sqrt{R/g}\) ✓ — каждую
половину колебания тело проходит по своей дуге.
Ответ
\( \dfrac{x_{\text{л}}}{x_{\text{п}}} = \sqrt{\dfrac rR} \), то есть вправо отклонение
в \( \sqrt{R/r} \) раз больше.