Два одинаковых шарика с зарядами \(\pm q\), жёстко связанные невесомым стержнем
длины \(l\), находятся в электрическом поле, которое действует на них с силой
\(\pm qE\). Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечных колебаний шариков
равна \(x_0\), а максимальная скорость шариков \(v_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока стержень лежит вдоль поля, силы \(\pm qE\) только растягивают его. Стоит стержню
повернуться — и они образуют пару, возвращающую его назад. Это тот же маятник, только
вместо тяжести работает электрическая пара сил.
Пока стержень вдоль поля, силы просто растягивают его; при повороте они
образуют возвращающую пару.
Потенциальная энергия. Повернём стержень на малый угол \(\theta\). Каждая
точка приложения сместилась против своей силы вдоль поля на
\(\frac l2(1-\cos\theta)\), значит работа против сил равна
Поперечное смещение каждого шарика \(x = \frac l2\theta\), откуда
\(\theta = 2x/l\) и
\[ U = \frac{qEl}{2}\cdot\frac{4x^2}{l^2} = \frac{2qE\,x^2}{l}. \]
Кинетическая энергия. В положении равновесия оба шарика имеют скорость
\(v_0\):
\[ K = 2\cdot\frac{mv_0^2}{2} = m v_0^2 . \]
Сохранение энергии. Приравниваем \(U(x_0)\) и \(K\):
\[ \frac{2qE\,x_0^2}{l} = m v_0^2
\quad\Longrightarrow\quad
m = \frac{2qE\,x_0^2}{l\,v_0^2}. \]
Проверка. Размерность: \(\mathrm{Н\cdot м}/(\mathrm{м^2/с^2})
= \mathrm{кг}\) ✓. Проверим через частоту: энергия \(U = kx^2/2\) с \(k = 4qE/l\), а
«движущаяся масса» для координаты \(x\) равна \(2m\) (шариков два), поэтому
\(\omega^2 = k/(2m) = 2qE/(ml)\) и \(v_0 = \omega x_0\) даёт тот же ответ ✓. Заряды
обязательно противоположны — иначе пары сил не получится и стержень просто улетит ✓.
Чем сильнее поле, тем «жёстче» система ✓.