Шарик массы \(m\) и радиуса \(r\) скользит по поверхности лунки, радиус кривизны
которой \(R\). Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от малого смещения
\(x\) из положения равновесия.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Двигается не поверхность лунки, а центр шарика — и он всё время отстоит от
центра кривизны ровно на \(R-r\). Значит центр ходит по окружности радиуса \(R-r\), и
это обычный маятник такой длины.
Центр шарика движется по окружности радиуса \(R-r\) — это и есть длина
эквивалентного маятника.
Сведение к маятнику. Пока шарик касается лунки, расстояние между центром
лунки и центром шарика равно \(R - r\) и не меняется. Значит центр шарика движется по
окружности радиуса \(R-r\) — в точности как шарик маятника длины \(l = R-r\).
Энергия. Подставляя \(l = R-r\) в результат задачи
3.1.5:
\[ U = \frac{mg\,x^2}{2(R-r)}, \]
где \(x\) — горизонтальное смещение центра шарика.
Проверка. При \(r\to0\) получается \(U = mgx^2/(2R)\) ✓ —
точечное тело в лунке радиуса \(R\). При \(r\to R\) шарик садится в лунку впритык,
энергия растёт неограниченно ✓ — сдвинуть его почти невозможно, ведь любое смещение
сразу поднимает его. Период таких колебаний \(T = 2\pi\sqrt{(R-r)/g}\) ✓. Важная
оговорка: шарик именно скользит; если бы он катился без проскальзывания,
добавилась бы энергия вращения и период вырос бы в \(\sqrt{7/5}\) раз ✓.