Бусинка с зарядом \(q\) может двигаться без трения по натянутой нити длины \(2L\), на концах которой закреплены заряды \(Q\). Найдите приращение потенциальной энергии при смещении бусинки на \(x\) вдоль нити из её центра. Убедитесь, что при малых смещениях зависимость квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы \(m\), если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость \(v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Точная энергия. Отсчитаем от центра:
\[ \Delta U = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \left(\frac1{L+x} + \frac1{L-x} - \frac2L\right). \]Сложим первые две дроби:
\[ \frac1{L+x}+\frac1{L-x} = \frac{2L}{L^2-x^2}, \] \[ \Delta U = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0}\cdot \frac{2L^2 - 2(L^2-x^2)}{L(L^2-x^2)} = \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{x^2}{L(L^2-x^2)} . \]Формула точная — и уже видно, что \(\Delta U\) чётна по \(x\) и обращается в нуль только при \(x = 0\).
Малые смещения. При \(x \ll L\) в знаменателе \(L^2 - x^2 \approx L^2\):
\[ \Delta U \approx \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 L^3}\,x^2 = \frac{k x^2}{2}, \qquad k = \frac{qQ}{\pi\varepsilon_0 L^3}. \]Зависимость квадратичная ✓, то есть бусинка в центре ведёт себя как груз на пружине жёсткости \(k\).
Амплитуда. Вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{k x_{\max}^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{\max} = v\sqrt{\frac mk} = v\sqrt{\frac{\pi\varepsilon_0 L^3 m}{qQ}} . \]