Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.1. Малые отклонения от равновесия

Савченко, задача 3.1.11

Задача 3.1.11две наклонные пружины

Условие

Две пружины жёсткости \(k\), соединённые, как показано на рисунке (каждая составляет с вертикалью угол \(\alpha\)), не деформированы. Какой массы груз следует подвесить к точке соединения пружин, чтобы он опустился на малое расстояние \(x\) в положение равновесия?

К задаче 3.1.11 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Опускаясь на \(x\), точка соединения удлиняет каждую пружину не на \(x\), а лишь на проекцию — на \(x\cos\alpha\). И возвращает пружина тоже не всю силу, а её вертикальную составляющую — ещё один \(\cos\alpha\). Отсюда два косинуса.

Точка соединения опустилась на \(x\); каждая пружина при этом удлинилась лишь на \(x\cos\alpha\).

Удлинение. Точка соединения сместилась вниз на \(x\). Пружина вытягивается на проекцию этого смещения на своё направление, а направление составляет с вертикалью угол \(\alpha\):

\[ \Delta = x\cos\alpha . \]

(Поперечная составляющая смещения при малом \(x\) даёт поправку порядка \(x^2\) и не считается.)

Силы. Каждая пружина тянет вдоль себя с силой \(k\Delta = kx\cos\alpha\). Вертикальная составляющая этой силы

\[ kx\cos\alpha\cdot\cos\alpha = kx\cos^2\alpha, \]

а пружин две. Горизонтальные составляющие по симметрии гасятся. Условие равновесия:

\[ mg = 2kx\cos^2\alpha \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2k\cos^2\alpha}{g}\,x . \]

Проверка. При \(\alpha = 0\) пружины вертикальны, работают «в лоб», эффективная жёсткость \(2k\), и \(m = 2kx/g\) ✓. При \(\alpha\to90^\circ\) пружины почти горизонтальны, \(m\to0\) ✓ — вертикальному смещению они почти не сопротивляются. Эффективная жёсткость такого «домика» равна \(2k\cos^2\alpha\) ✓ — стандартная формула для наклонных пружин, и в неё входит именно квадрат косинуса, а не первая степень.

Ответ \( m = \dfrac{2k\cos^2\alpha}{g}\,x \).

Следующая задача 3.1.12 →