а. Небольшое заряженное тело массы \(m\) может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплён заряд, одноимённый с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии \(R\) от этого заряда. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения \(x\) из положения равновесия?
б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком теперь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия? Как зависит сила от малого смещения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Равновесие. На расстоянии \(R\) кулоновская сила равна весу:
\[ F_{\text{к}}(R) = mg . \]На расстоянии \(R+x\) она равна
\[ F_{\text{к}}(R+x) = mg\,\frac{R^2}{(R+x)^2} = mg\left(1+\frac xR\right)^{-2} \approx mg\left(1 - \frac{2x}{R}\right), \]поэтому суммарная сила (вверх положительна)
\[ f = F_{\text{к}}(R+x) - mg = -\frac{2mg}{R}\,x . \]б. Новое равновесие. Заряды те же, значит произведение \(kQq\) не изменилось. Из \(kQq = mgR^2 = 3mg\,R'^2\) получаем
\[ R'^2 = \frac{R^2}{3}, \qquad R' = \frac{R}{\sqrt3}. \]Формула для силы та же с заменой \(m\to3m,\ R\to R'\):
\[ f' = -\frac{2\cdot 3mg}{R'}\,x = -\frac{6mg}{R'}\,x = -\frac{6\sqrt3\,mg}{R}\,x . \]