Задача 3.1.13на тело положили грузик
Условие
На тело массы \(m\) в задаче 3.1.12а положили небольшой грузик массы \(\Delta m\) и отпустили. Найдите максимальную скорость тела с грузиком.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
С грузиком равновесие оказывается чуть ниже. Тело же стартует из покоя в старом
положении — а это в точности крайняя точка новых колебаний. Значит амплитуда равна
расстоянию между старым и новым равновесием.
Новое положение равновесия. Произведение зарядов не менялось, поэтому
\[ mgR^2 = (m+\Delta m)g R''^2 \quad\Longrightarrow\quad R'' = R\sqrt{\frac{m}{m+\Delta m}} \approx R\left(1-\frac{\Delta m}{2m}\right). \]Амплитуда. Тело начинает движение из точки \(R\) без скорости, значит
\[ A = R - R'' = \frac{R\,\Delta m}{2m}. \]Частота. Около нового равновесия жёсткость та же с точностью до малых:
\[ \omega = \sqrt{\frac{2g}{R''}} \approx \sqrt{\frac{2g}{R}} . \]Максимальная скорость.
\[ v = \omega A = \sqrt{\frac{2g}{R}}\cdot\frac{R\,\Delta m}{2m} = \frac{\Delta m}{2m}\sqrt{2gR} = \frac{\Delta m}{m}\sqrt{\frac{gR}{2}} . \]Проверка. При \(\Delta m\to0\) скорость стремится к нулю ✓.
Ответ линеен по \(\Delta m\) ✓ — признак того, что мы всюду работали в линейном
приближении, как и требует условие «небольшой грузик». Размерность ✓. Полезно
убедиться, что грузик не подпрыгивает: максимальное ускорение равно
\(\omega^2 A = \dfrac{2g}{R}\cdot\dfrac{R\Delta m}{2m} = g\,\dfrac{\Delta m}{m} \ll g\)
✓ — грузик спокойно лежит на теле.
Ответ
\( v = \dfrac{\Delta m}{m}\sqrt{\dfrac{gR}{2}} \).