На нитях длины \(h\), находящихся на расстоянии \(l\) друг от друга, висит невесомый стержень длины \(L > l\) с грузами массы \(m\) на концах. Стержень горизонтален. Покажите, что при повороте стержня вокруг его вертикальной оси симметрии на малый угол \(\varphi\) момент сил, действующих на грузы, пропорционален \(\varphi\), а изменение потенциальной энергии пропорционально \(\varphi^2\). Найдите максимальную угловую скорость стержня, если его отпустили, повернув предварительно на угол \(\varphi_0\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Геометрия. Точки крепления нитей отстоят от оси на \(l/2\). При повороте на \(\varphi\) каждая из них смещается по горизонтали на \((l/2)\varphi\). Нить длины \(h\) наклоняется на угол \(\beta\) с
\[ \sin\beta = \frac{(l/2)\varphi}{h}, \]а стержень поднимается на
\[ \Delta h = h(1-\cos\beta) \approx \frac{h\beta^2}{2} = \frac{h}{2}\cdot\frac{l^2\varphi^2}{4h^2} = \frac{l^2\varphi^2}{8h}. \]Энергия и момент. Грузов два:
\[ U = 2mg\,\Delta h = \frac{mg\,l^2}{4h}\,\varphi^2 \ \propto\ \varphi^2\ ✓ \]Квадратичной энергии отвечает линейный возвращающий момент — точно так же, как квадратичной энергии \(kx^2/2\) отвечает сила \(-kx\):
\[ M = -\frac{mg\,l^2}{2h}\,\varphi \ \propto\ \varphi\ ✓ \]Максимальная угловая скорость. Момент инерции двух грузов относительно вертикальной оси
\[ I = 2m\left(\frac L2\right)^{\!2} = \frac{mL^2}{2}. \]Вся энергия, запасённая при повороте на \(\varphi_0\), переходит в кинетическую:
\[ \frac{I\Omega^2}{2} = \frac{mg\,l^2\varphi_0^2}{4h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{mL^2}{4}\,\Omega^2 = \frac{mg\,l^2\varphi_0^2}{4h} \quad\Longrightarrow\quad \Omega = \frac lL\,\varphi_0\sqrt{\frac gh}. \]