Амплитуда малых колебаний математического маятника, стоящего на тележке, равна
\(x_0\), а амплитуда колебаний тележки \(y_0\). Длина нити маятника \(l\). Определите
максимальную скорость маятника и тележки. Трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Горизонтальных внешних сил нет, значит центр масс стоит на месте и тела ходят строго в
противофазе. Оба колеблются с одной частотой — а раз так, их максимальные скорости
относятся точно как амплитуды.
Маятник и тележка ходят в противофазе: центр масс системы остаётся на
месте.
Отношение масс. Пусть масса тележки \(M\), масса шарика \(m\). Центр масс
неподвижен, поэтому амплитуды обратны массам:
\[ M y_0 = m x_0 . \]
Угол отклонения нити. Он определяется относительным смещением шарика и
тележки. Тела в противофазе, значит амплитуда относительного смещения равна
\(x_0 + y_0\) и
\[ \theta_0 = \frac{x_0+y_0}{l}. \]
Частота. Горизонтальная сила на шарик — это составляющая натяжения
\(mg\theta\). При гармоническом движении с амплитудой \(x_0\) она равна
\(m\omega^2 x_0\):
Проверка. Оба тела ходят с одним периодом, поэтому отношение
максимальных скоростей обязано равняться отношению амплитуд:
\(v_2/v_1 = y_0/x_0\) ✓. При \(y_0\to0\) (очень тяжёлая тележка) получается
\(\omega=\sqrt{g/l}\) и \(v_1 = x_0\sqrt{g/l}\) ✓ — обычный маятник (задача
3.1.6). Импульсы тел в любой момент равны и противоположны:
\(m v_1 = M v_2\) ✓ — подставьте \(M y_0 = m x_0\).
Опечатка в задачнике. Для скорости тележки напечатано
\(v_2 = y_0\sqrt{(1+x_0/y_0)\,g/l}\). Это не может быть верно: тогда
\(v_2/v_1 = \sqrt{y_0/x_0}\), хотя оба тела колеблются с одной и той же частотой и
отношение обязано быть \(y_0/x_0\). Верное выражение отличается тем, что под корнем
стоит \(1+y_0/x_0\) — то же самое, что и у \(v_1\).