Задача 3.1.16натяжение нити маятника
Условие
Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити математического маятника, амплитуда колебаний которого \(x_0\) много меньше длины нити \(l\), если масса маятника \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Натяжение складывается из «удерживающей» части \(mg\cos\theta\) и «центростремительной»
\(mv^2/l\). Обе поправки — второго порядка по \(x_0/l\), поэтому их надо аккуратно
сложить, а не отбрасывать.
Второй закон Ньютона вдоль нити. Ускорение вдоль нити — центростремительное:
\[ F - mg\cos\theta = \frac{mv^2}{l}. \]Подставляем малые величины. При \(\theta \approx x/l\)
\[ \cos\theta \approx 1 - \frac{x^2}{2l^2}, \]а скорость находится из сохранения энергии (задача 3.1.5):
\[ \frac{mv^2}{2} = \frac{mg}{2l}\left(x_0^2 - x^2\right) \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac gl\left(x_0^2-x^2\right). \]Значит
\[ F = mg\left(1-\frac{x^2}{2l^2}\right) + \frac{mg}{l^2}\left(x_0^2-x^2\right) = mg\left[1 + \frac{x_0^2}{l^2} - \frac{3x^2}{2l^2}\right]. \]Крайние значения. Внизу \((x=0)\) натяжение максимально, в крайних точках \((x = \pm x_0)\) — минимально:
\[ F_{\max} = mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right),\qquad F_{\min} = mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right). \]Проверка. Внизу нить натянута сильнее веса ✓ — она ещё и
заворачивает шарик; в крайних точках слабее ✓ — там скорость нулевая, а нить наклонена.
Обе поправки второго порядка по \(x_0/l\) ✓: при \(x_0/l = 0{,}1\) это \(1\,\%\) и
\(0{,}5\,\%\). Размах \(\Delta F = \dfrac{3mg\,x_0^2}{2l^2}\) ✓ — он понадобится в
следующей задаче. Проверим предел \(x_0\to0\): \(F\to mg\) ✓.
Ответ
\( mg\left(1+\dfrac{x_0^2}{l^2}\right) \ \ge\ F \ \ge\
mg\left(1-\dfrac{x_0^2}{2l^2}\right) \).