Задача 3.1.17амплитуда по размаху давления
Условие
Сила нормального давления небольшого тела при малых колебаниях его вблизи положения равновесия в лунке радиуса \(R\) меняется от \(N\) до \(N+\Delta\), причём \(\Delta \ll N\). Определите амплитуду колебаний этого тела.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Тело в лунке радиуса \(R\) — это маятник длины \(R\), а сила нормального давления
играет роль натяжения нити. Значит размах давления связан с амплитудой той же
формулой, что мы вывели в предыдущей задаче.
Переносим результат. В задаче 3.1.16 с заменой \(l\to R\):
\[ N(x) = mg\left[1 + \frac{x_0^2}{R^2} - \frac{3x^2}{2R^2}\right], \] \[ N_{\max} = mg\left(1+\frac{x_0^2}{R^2}\right),\qquad N_{\min} = mg\left(1-\frac{x_0^2}{2R^2}\right). \]Размах.
\[ \Delta = N_{\max}-N_{\min} = \frac{3mg\,x_0^2}{2R^2}. \]По условию \(\Delta \ll N\), значит \(mg \approx N\) с той же точностью, и
\[ \Delta = \frac{3N\,x_0^2}{2R^2} \quad\Longrightarrow\quad x_0 = R\sqrt{\frac{2\Delta}{3N}} . \]Проверка. Отношение \(\Delta/N\) безразмерно, так что
\(x_0\) измеряется в тех же единицах, что \(R\) ✓. Чем меньше размах давления, тем
меньше амплитуда ✓. Условие \(\Delta\ll N\) равносильно \(x_0 \ll R\) ✓ — это и есть
«малые колебания». Числа: при \(\Delta/N = 3\,\%\) и \(R = 1\) м получаем
\(x_0 = \sqrt{0{,}02} \approx 14\) см ✓ — правдоподобно. Способ хорош тем, что
амплитуду можно измерить, вообще не глядя на тело — по одним лишь показаниям
датчика давления ✓.
Ответ
\( x_0 = R\sqrt{\dfrac{2\Delta}{3N}} \).