а. Груз массы \(m\), подвешенный на пружине и совершающий колебания, расположен рядом с вращающимся с угловой скоростью \(\Omega\) колесом, причём точка \(A\) колеса всё время находится на одном уровне с центром масс груза. Где находится положение равновесия груза? Какая сила действует на груз при смещении \(x\)? Через какое наименьшее время \(T\) повторяются значения скорости и смещения? Как изменятся скорость и смещение через \(T/2\)?
б. Сопоставьте колебательное движение груза под действием силы \(F = -kx\) вращательному движению. Определите угловую скорость колеса, если известны \(k\) и \(m\). На каком расстоянии от оси колеса находится точка \(A\), если наибольшее отклонение груза равно \(x_0\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Положение равновесия. Проекция точки \(A\) на вертикаль колеблется около уровня центра колеса — значит там и находится положение равновесия груза.
Сила. Точка \(A\) движется равномерно по окружности радиуса \(R\), её ускорение направлено к центру и равно \(\Omega^2 R\). Вертикальная проекция этого ускорения равна \(\Omega^2\) умножить на вертикальную проекцию радиуса, то есть \(-\Omega^2 x\). Груз повторяет движение проекции, поэтому
\[ F = ma = -m\Omega^2 x . \]Период. Точка \(A\) возвращается в прежнее положение через полный оборот:
\[ T = \frac{2\pi}{\Omega}. \]Через \(T/2\) точка \(A\) окажется диаметрально противоположно: смещение изменит знак, а скорость сохранит модуль, но изменит направление на противоположное.
б. Сопоставление. Сравнивая \(F = -m\Omega^2 x\) с \(F = -kx\), получаем
\[ m\Omega^2 = k \quad\Longrightarrow\quad \Omega = \sqrt{\frac km}. \]Наибольшее отклонение проекции равно радиусу, поэтому
\[ R = x_0 . \]