Задача 3.2.2период через статическое растяжение
Условие
Неподвижный груз, подвешенный на пружине, растягивает её, находясь в положении равновесия, на длину \(\Delta l\). Каков период вертикальных колебаний груза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Статическое растяжение само по себе измеряет жёсткость: \(k = mg/\Delta l\). Подставив
это в формулу периода, увидим, что масса сокращается — остаётся только \(\Delta l\).
Жёсткость. В равновесии
\[ k\,\Delta l = mg \quad\Longrightarrow\quad \frac mk = \frac{\Delta l}{g}. \]Период.
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac mk} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}. \]Проверка. Формула в точности совпала с формулой
математического маятника длины \(\Delta l\) ✓ — красивое и полезное совпадение: чтобы
оценить период, достаточно посмотреть, насколько груз оттянул пружину. Ни масса, ни
жёсткость по отдельности не нужны ✓. Числа: если груз растянул пружину на \(4\) см, то
\(T = 2\pi\sqrt{0{,}04/9{,}8} \approx 0{,}4\) с ✓.
Ответ
\( T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\Delta l}{g}} \).