Задача 3.2.3шнур, сложенный вдвое
Условие
Груз колеблется по вертикали на резиновом шнуре. Во сколько раз изменится период вертикальных колебаний груза, если его подвесить на том же шнуре, сложенном вдвое?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сложить шнур вдвое — значит сразу вдвое укоротить его и вдвое увеличить сечение. Каждое
из этих изменений удваивает жёсткость, вместе они дают вчетверо.
Жёсткость. Жёсткость упругого шнура
\[ k = \frac{ES}{L} \](\(E\) — модуль упругости материала, \(S\) — площадь сечения, \(L\) — длина). Складывая шнур вдвое, мы получаем «шнур» вдвое короче и вдвое толще:
\[ k' = \frac{E\cdot 2S}{L/2} = 4k . \]Проще смотреть так: две половинки шнура работают параллельно, и каждая вдвое короче, то есть вдвое жёстче исходного; \(2\times2 = 4\).
Период.
\[ T' = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}} = \frac T2 . \]Проверка. Период уменьшился вдвое ✓ — колебания стали чаще,
и это ожидаемо: сложенный вдвое шнур заметно жёстче. Проверим иначе: сложенный вдвое
шнур растянется под тем же грузом вчетверо меньше, а по задаче
3.2.2 \(T\propto\sqrt{\Delta l}\), значит период упадёт в \(2\) раза
✓. Важно, что резина здесь считается идеально упругой ✓.
Ответ
Период уменьшится вдвое.