Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.2. Период и частота свободных колебаний

Савченко, задача 3.2.4

Задача 3.2.4три системы пружин

Условие

Найдите период колебаний систем осцилляторов, изображённых на рисунке: а) две пружины \(k_1\) и \(k_2\) соединяют тело со стеной параллельно; б) те же пружины соединены последовательно; в) тело между двумя стенами, слева пружина \(k_1\), справа \(k_2\). Зависит ли период в случае в от расстояния между стенками?

К задаче 3.2.4 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Всё сводится к тому, как складываются жёсткости. Параллельно — складываются сами жёсткости (обе пружины деформируются одинаково), последовательно — складываются податливости \(1/k\) (одинаковы силы, а деформации складываются).

В случаях а и в пружины работают параллельно, в случае б — последовательно.

Случай а (параллельно). Обе пружины деформируются на одно и то же \(x\), силы складываются:

\[ F = -(k_1+k_2)x \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}. \]

Случай в (тоже параллельно). Сдвинув тело вправо на \(x\), мы растягиваем левую пружину и сжимаем правую — обе тянут тело назад:

\[ F = -k_1x - k_2x = -(k_1+k_2)x \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}. \]

Расстояние между стенками влияет лишь на начальные натяжения пружин; в силу линейности они дают постоянную добавку, которая просто сдвигает положение равновесия. От расстояния период не зависит.

Случай б (последовательно). Сила в обеих пружинах одна и та же (пружины невесомы), а деформации складываются:

\[ x = \frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac1{k} = \frac1{k_1}+\frac1{k_2}, \] \[ T = 2\pi\sqrt{m\left(\frac1{k_1}+\frac1{k_2}\right)}. \]

Проверка. При \(k_1 = k_2 = k\): параллельно \(T = 2\pi\sqrt{m/2k}\), последовательно \(T = 2\pi\sqrt{2m/k}\) — ровно вдвое больше ✓. Последовательное соединение всегда мягче самой мягкой пружины ✓, параллельное — жёстче самой жёсткой ✓. В случае в пружины могут даже провиснуть, если их предварительно не натянуть, — тогда работала бы только одна; в задаче подразумевается, что обе всё время работают ✓.

Ответ а, в: \( T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}} \), от расстояния между стенками период не зависит. б: \( T = 2\pi\sqrt{m\left(\dfrac1{k_1}+\dfrac1{k_2}\right)} \).

Следующая задача 3.2.5 →