Определите время полёта камня от одного полюса Земли до другого по прямому тоннелю,
прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной, её радиус — равным
\(6400\) км.
К задаче 3.2.12 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Внутри однородного шара притягивает только та часть вещества, что лежит ближе к центру,
— а её масса растёт как \(r^3\). Поэтому сила выходит пропорциональной \(r\): это
в точности закон Гука, и камень совершает гармонические колебания.
Сила внутри шара. На глубине, где расстояние до центра равно \(r\),
притягивает шар радиуса \(r\) массы \(M(r) = \frac43\pi r^3\rho\) (внешние слои дают
ноль):
\[ F = -\frac{GM(r)m}{r^2} = -\frac43\pi G\rho\,m\,r = -\frac{mg}{R}\,r, \]
где мы воспользовались тем, что на поверхности \(g = \frac43\pi G\rho R\).
Колебания. Это закон Гука с \(k = mg/R\), значит
\[ \omega = \sqrt{\frac gR},\qquad
T = 2\pi\sqrt{\frac Rg}. \]
Проверка. Период \(T = 84{,}5\) мин ✓ — это в точности период
обращения спутника у самой поверхности Земли, и совпадение не случайно: и там и здесь
\(\omega = \sqrt{g/R}\) ✓. Максимальная скорость в центре
\(v = \omega R = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\) км/с ✓ — первая космическая. Ответ не зависит
от массы камня ✓ и, что удивительнее, от того, откуда его бросили ✓.