В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через её центр. Определите время
движения поезда с выключенными двигателями по такому тоннелю, если влиянием вращения
Земли и трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила внутри Земли направлена к центру и пропорциональна расстоянию до центра. У такой
силы любая её проекция тоже пропорциональна соответствующей координате — значит
вдоль тоннеля получается тот же самый закон Гука, с той же самой жёсткостью.
Притяжение направлено к центру и пропорционально \(r\); его проекция на
тоннель пропорциональна \(s\) — с тем же коэффициентом.
Проекция силы. На расстоянии \(r\) от центра сила равна
\(F = -\dfrac{mg}{R}r\) и направлена к центру. Пусть \(s\) — расстояние вдоль тоннеля
от его середины (ближайшей к центру точки). Из подобия треугольников проекция силы на
направление тоннеля составляет ту же долю от \(F\), какую \(s\) составляет от \(r\):
\[ F_\parallel = -\frac{mg}{R}\,r\cdot\frac sr = -\frac{mg}{R}\,s . \]
Расстояние \(r\) сократилось! Осталась ровно та же «жёсткость» \(k = mg/R\), что и в
предыдущей задаче.
Время. Значит и период тот же, и время в пути — половина периода:
\[ t = \pi\sqrt{\frac Rg} \approx 42\ \text{мин}, \]
независимо от того, где прорыт тоннель.
Проверка. Предельный случай — тоннель через центр — даёт
прежний ответ ✓. Другой предел: очень короткий тоннель у самой поверхности; тогда это
просто «жёлоб» с эффективным ускорением, и время всё равно \(42\) мин ✓ — не совсем
очевидно, но верно. Максимальная скорость зависит от длины тоннеля:
\(v = \omega s_0 = s_0\sqrt{g/R}\) ✓ — для короткого тоннеля она мала. Именно на этом
принципе строят проекты «гравитационного метро» ✓.
Ответ
\( t = \pi\sqrt{R/g} \approx 42 \) мин — столько же, сколько сквозь центр.