Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.2. Период и частота свободных колебаний

Савченко, задача 3.2.14

Задача 3.2.14доска на двух катках

Условие

Доска массы \(m\) лежит на двух катках, вращающихся с большой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков \(L\), коэффициент трения при скольжении доски по катку \(\mu\). Найдите частоту продольных колебаний доски.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Катки крутятся быстро, поэтому трение всегда скользящее и равно \(\mu N\). Стоит доске сдвинуться — и нагрузка перераспределяется: ближний каток давит сильнее, дальний слабее. Разность сил трения и возвращает доску назад.

Верхушки катков едут навстречу друг другу, поэтому трение слева тянет доску вправо, справа — влево. Красная точка — центр масс доски.

Как делится вес. Пусть центр масс доски смещён на \(x\) вправо от середины между осями. Условия равновесия по вертикали и по моментам относительно центра масс:

\[ N_1 + N_2 = mg,\qquad N_1\left(\frac L2+x\right) = N_2\left(\frac L2-x\right), \] \[ N_1 = \frac{mg}{L}\left(\frac L2-x\right),\qquad N_2 = \frac{mg}{L}\left(\frac L2+x\right) \]

(\(N_1\) — левый каток, \(N_2\) — правый). Сдвинувшись вправо, доска сильнее давит на правый каток ✓.

Силы трения. Верхняя точка левого катка едет вправо, значит трение с его стороны тянет доску вправо \((+\mu N_1)\); правый каток тянет влево \((-\mu N_2)\):

\[ F = \mu N_1 - \mu N_2 = \frac{\mu mg}{L} \left[\left(\frac L2-x\right)-\left(\frac L2+x\right)\right] = -\frac{2\mu mg}{L}\,x . \]

Частота. Это закон Гука с \(k = 2\mu mg/L\):

\[ \omega = \sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{2\mu g}{L}} . \]

Проверка. Масса доски сократилась ✓. Чем больше трение и чем ближе катки, тем быстрее колебания ✓. Знак существенен: если пустить катки в обратную сторону (верхушки расходятся), получится \(+2\mu mg x/L\) — сила не возвращающая, и доска убежит с катков ✓. Именно поэтому в такой демонстрации катки крутят именно навстречу друг другу. Размерность \(\sqrt{g/L}\) ✓.

Ответ \( \omega = \sqrt{\dfrac{2\mu g}{L}} \).

Следующая задача 3.2.15 →