Подъёмник поднимается или опускается в шахте глубиной \(400\) м за \(40\) с. Сначала он разгоняется с постоянным ускорением, а затем с тем же по модулю ускорением замедляется. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы подъёмника по сравнению с неподвижными? Подъёмник находится в движении \(5\) ч ежедневно.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ускорение. Половину пути разгон, половину торможение:
\[ H = 2\cdot\frac{a\,(t/2)^2}{2} = \frac{a t^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{4H}{t^2} = \frac{4\cdot400}{1600} = 1\ \text{м/с}^2 . \]Ход часов. Частота маятника \(\propto\sqrt{g_{\text{эфф}}}\), поэтому за время \(\tau\) часы покажут \(\tau\sqrt{g_{\text{эфф}}/g}\). Половину времени \(g_{\text{эфф}} = g+a\), половину \(g-a\), и показанное время равно
\[ \tau\cdot\frac12\left(\sqrt{1+\frac ag}+\sqrt{1-\frac ag}\right). \]Обозначим \(\epsilon = a/g\) и разложим:
\[ \sqrt{1\pm\epsilon} \approx 1 \pm \frac\epsilon2 - \frac{\epsilon^2}{8} \quad\Longrightarrow\quad \frac12\left(\sqrt{1+\epsilon}+\sqrt{1-\epsilon}\right) \approx 1 - \frac{\epsilon^2}{8}. \]Линейные члены сократились — вот почему эффект такой слабый.
Отставание. За \(\tau = 5\) ч \(= 18\,000\) с движения
\[ \Delta t = \tau\,\frac{\epsilon^2}{8} = 18\,000\cdot\frac{(1/9{,}8)^2}{8} \approx 23\ \text{с}. \]