Тяжёлая тележка скатывается с ускорением \(a\) по наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом. Найдите период колебаний маятника длины \(l\), установленного на тележке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Эффективная тяжесть. В системе тележки на груз действуют \(m\vec g\) и сила инерции \(-m\vec a\), значит
\[ \vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a,\qquad g_{\text{эфф}}^2 = g^2 + a^2 - 2ga\cos\beta, \]где \(\beta\) — угол между векторами \(\vec g\) и \(\vec a\).
Чему равен этот угол. Ускорение направлено вниз по склону, а склон наклонён к горизонту на \(\alpha\). Значит вектор \(\vec a\) составляет с вертикалью угол \(90^\circ-\alpha\), и
\[ \cos\beta = \cos(90^\circ-\alpha) = \sin\alpha . \]Период.
\[ g_{\text{эфф}} = \sqrt{g^2+a^2-2ga\sin\alpha},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{\text{эфф}}}} = 2\pi\left(\frac{l^2}{g^2+a^2-2ag\sin\alpha}\right)^{\!1/4}. \]— знакомый результат: на свободно скользящей тележке «работает» лишь составляющая
тяжести, перпендикулярная склону. При \(a = 0\) получаем \(g_{\text{эфф}} = g\) ✓.
Свободное падение \((\alpha = 90^\circ,\ a = g)\) даёт \(g_{\text{эфф}} = 0\) и
\(T\to\infty\) ✓ — в невесомости маятник не качается.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано
\(g^2+a^2-2ag\cos\alpha\). Должен стоять синус: угол между \(\vec g\) и \(\vec a\)
равен \(90^\circ-\alpha\), а не \(\alpha\). Проверка свободным падением решает дело:
при \(\alpha = 90^\circ,\ a = g\) правильная формула даёт нуль, а печатная —
\(2g^2\).