Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\Omega\). Как
зависит период колебаний маятника длины \(l\) от расстояния \(R\) точки подвеса до оси
вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Искусственная тяжесть на станции — это центробежное поле \(\Omega^2\rho\), растущее с
удалением от оси. Груз висит на расстоянии \(R+l\), там и надо брать «\(g\)».
Центробежная «тяжесть» направлена от оси и растёт с расстоянием; груз
висит на расстоянии \(R+l\).
Эффективная тяжесть. Точка подвеса на расстоянии \(R\) от оси, маятник висит
«вниз» — то есть от оси, — и его груз находится на расстоянии \(R+l\). Там
\[ g_{\text{эфф}} = \Omega^2 (R+l). \]
Период.
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\Omega^2(R+l)}}
= \frac{2\pi}{\Omega}\sqrt{\frac{l}{R+l}} . \]
Проверка. Период всегда меньше периода вращения самой
станции \(2\pi/\Omega\) ✓, причём равенство достигается только при \(R = 0\) —
маятник, подвешенный прямо на оси, качается ровно в такт вращению ✓ (и это понятно:
его груз просто «обходит» ось по кругу радиуса \(l\)). Если станция велика,
\(R\gg l\), то \(T \approx \frac{2\pi}{\Omega}\sqrt{l/R}\) — маятник качается гораздо
быстрее, чем вращается станция ✓. Настоящей тяжести здесь нет вовсе, поэтому \(g\) в
ответ не входит ✓.
Ответ
\( T = \dfrac{2\pi}{\Omega}\sqrt{\dfrac{l}{R+l}} \).