Шарик массы \(m\), насаженный на стержень, вращается с угловой скоростью \(\Omega\)
вокруг оси \(O\), с которой он соединён пружиной жёсткости \(k\). Определите частоту
колебаний шарика вдоль пружины, если \(\Omega^2 < k/m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Во вращающейся системе отсчёта к упругой силе добавляется центробежная \(m\Omega^2 r\),
направленная наружу. Она тоже линейна по \(r\) — значит просто уменьшает
эффективную жёсткость.
Стержень вращается вокруг \(O\); шарик может ездить вдоль него, удерживаемый
пружиной.
Равновесие. Пусть в равновесии шарик на расстоянии \(r_0\) от оси. Тогда
\[ k(r_0 - l_0) = m\Omega^2 r_0 \]
(\(l_0\) — длина недеформированной пружины).
Смещение. Сдвинем шарик на \(x\) наружу. Упругая сила вырастет на \(kx\)
внутрь, центробежная — на \(m\Omega^2 x\) наружу. Итог:
\[ F = -kx + m\Omega^2 x = -(k - m\Omega^2)\,x . \]
Частота.
\[ \omega = \sqrt{\frac{k-m\Omega^2}{m}} = \sqrt{\frac km - \Omega^2}. \]
Проверка. При \(\Omega = 0\) получается обычная пружина ✓.
При \(\Omega^2\to k/m\) частота обращается в нуль ✓ — вращение «съело» всю жёсткость,
равновесие стало безразличным; при ещё большем \(\Omega\) корень мнимый, равновесия
нет и шарик улетает — потому в условии и стоит \(\Omega^2 < k/m\) ✓. Обратите
внимание: сама точка равновесия \(r_0 = k l_0/(k-m\Omega^2)\) при этом уезжает всё
дальше ✓, что согласуется с той же картиной.