Метроном представляет собой лёгкий стержень, на нижнем конце которого на расстоянии
\(l\) от оси находится груз массы \(M\). Выше оси подвижный грузик массы \(m\) можно
закреплять на разных расстояниях \(x\) от оси. Считая массы точечными, найдите, как
частота колебаний зависит от \(x\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Нижний груз возвращает стержень к вертикали, верхний — наоборот, стремится его
опрокинуть. Их моменты вычитаются, а моменты инерции складываются. Подняв
грузик выше, мы ослабляем возвращающий момент и утяжеляем «маховик» — темп замедляется
сразу по двум причинам.
Момент сил. При отклонении на малый угол \(\varphi\) плечо нижнего груза
равно \(l\varphi\), верхнего — \(x\varphi\), и моменты направлены в разные стороны:
Проверка. При \(x = 0\) грузик сидит на самой оси и ни на что
не влияет: \(\omega = \sqrt{g/l}\) ✓ — маятник длины \(l\). С ростом \(x\) числитель
убывает, знаменатель растёт, значит частота монотонно падает ✓ — именно так метроном и
настраивают: чем выше грузик, тем медленнее щелчки. При \(mx\to Ml\) частота стремится
к нулю ✓, а при \(mx > Ml\) равновесие становится неустойчивым и метроном
опрокидывается ✓ — поэтому шкалу выше этой точки не делают.
Ответ
\( \omega = \sqrt{\dfrac{g(Ml-mx)}{Ml^2+mx^2}} \).