Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на лёгком
стержне длины \(l\), если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину
жёсткости \(k\)? На рисунке изображено состояние равновесия.
К задаче 3.2.20 (рисунок из условия, перерисован)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пружина, приделанная к середине стержня, проигрывает дважды: и смещается она вдвое
меньше груза, и плечо у неё вдвое короче. Поэтому её вклад в жёсткость оказывается
вчетверо меньше, чем если бы она крепилась к самому грузу.
Пружина прикреплена к середине стержня (красная точка) — вдвое ближе к
оси, чем груз.
Моменты относительно оси. При отклонении на малый угол \(\varphi\):
тяжесть даёт \(-mgl\varphi\);
середина стержня смещается на \(\frac l2\varphi\), пружина отвечает силой
\(k\frac l2\varphi\), а её плечо тоже \(\frac l2\), так что момент равен
\(-k\frac{l^2}{4}\varphi\).
Проверка. При \(k = 0\) остаётся \(\omega^2 = g/l\) ✓. Если бы
пружину прицепили к самому грузу, добавка была бы \(k/m\) ✓ — вчетверо больше, и
множитель \(1/4\) — это \((1/2)^2\), два «проигрыша в рычаге» ✓. Квадраты частот
складываются — общее правило для параллельно работающих возвращающих сил ✓. Заметим,
что положение равновесия пружина не сдвигает: по условию в равновесии она не
деформирована ✓.
Ответ
\( \omega^2 = \dfrac gl + \dfrac{k}{4m} \) — квадрат частоты возрастает на
\( \dfrac{k}{4m} \).