К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепили грузик массы \(m\).
Найдите массу колеса, предполагая её однородно распределённой по ободу, если частота
колебаний колеса с грузиком вокруг оси равна \(\omega\), а его радиус равен \(R\),
причём \(R < g/\omega^2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Само колесо уравновешено — его центр масс на оси, и никакого возвращающего момента оно
не даёт. Зато инерцию оно даёт исправно. Значит колесо «мешает» колебаниям, и по тому,
насколько они замедлились, можно узнать его массу.
Обод сам по себе уравновешен: возвращает колесо только грузик \(m\).
Момент сил. Центр масс обода лежит на оси, поэтому весь возвращающий момент
создаёт только грузик:
\[ \mathcal M = -mgR\,\varphi . \]
Момент инерции. Вся масса — и обода, и грузика — сидит на радиусе \(R\):
\[ I = MR^2 + mR^2 = (M+m)R^2 . \]
Частота и масса колеса.
\[ \omega^2 = \frac{mgR}{(M+m)R^2} = \frac{mg}{(M+m)R}
\quad\Longrightarrow\quad
M + m = \frac{mg}{\omega^2 R}, \]
\[ M = m\left(\frac{g}{\omega^2 R} - 1\right). \]
Проверка. Условие \(R < g/\omega^2\) — это ровно требование
\(M > 0\) ✓. При \(M\to0\) получаем \(\omega^2 = g/R\) ✓ — грузик на невесомом ободе
ведёт себя как маятник длины \(R\). Чем тяжелее колесо, тем медленнее колебания ✓. Так
и измеряют момент инерции маховиков: подвешивают грузик и засекают период ✓.
Ответ
\( M = m\left(\dfrac{g}{\omega^2 R} - 1\right) \).